人有生老病死，
花也歷經結苞、含蕾、盛開、凋殘等階段；
人生難有十全十美，
最美的花往往襯托最難看的葉子，
最盛開時也是將凋零時，比如牡丹、曇花，
因此人在得意時，要防失意隨之而至。
最普通的花雖不起眼，卻1年綻放3次，生命力旺盛；
1朵花，就是一世界，一片葉，就是一人生，
自有一番生命哲理。
- 6月 11 週一 200712:19
以花來譬喻人生
人有生老病死，
花也歷經結苞、含蕾、盛開、凋殘等階段；
人生難有十全十美，
最美的花往往襯托最難看的葉子，
最盛開時也是將凋零時，比如牡丹、曇花，
因此人在得意時，要防失意隨之而至。
最普通的花雖不起眼，卻1年綻放3次，生命力旺盛；
1朵花，就是一世界，一片葉，就是一人生，
自有一番生命哲理。
- 5月 11 週四 200610:15
轉載文章[零的意義]
《從零開始》，追蹤零的符號與意義
網址:http://alumni.nctu.edu.tw/~sinner/science/talk/part_2/science190b.htm
作者：吳文成
連續幾篇文章，我將分別導讀兩本關於「零」的歷史的科普書，它們正巧都是千禧年前後在美國出版的暢銷書。前一本是年輕的科普作家暨記者 Charles Seife 寫的《 Zero：The Biography of a Dangerous Idea 》（2000）
，該書內容通俗、完整並且架構分明，在上篇文章，我以該書的章節為架構，較為詳細地介紹了「零」在哲學、科學、數學及宗教等方面的核心角色 。 而這篇文章 ， 我將導讀由哈佛大學數學教授暨教育家 Robert Kaplan 所撰寫的《 The Nothing That Is ——A Natural History of Zero 》（1999）， 中譯本是《從零開始——追蹤零的符號與意義》（究竟出版社，2002）。弘奧的文學意味與廣博的學術格局正是這本書的特色，但是對於普通讀者而言，此書並不容易閱讀。因此，不同於我導讀《零的故事》的方式，在這篇文章，我將會採取「且戰且走」、「蜻蜓點水」的導讀策略。（在零的歷史起源與數學分析的部分，《從零開始》與《零的故事》兩本書有相當多的重複，那些重複部分我在上篇文章也都談過了，所以這篇文章的重點，我將放在《從零開始》這本書當中比較隱喻性與象徵性的部分。如果你還是對「數學分析觀念」有興趣，那麼第十一章〈近乎空無〉是這本書必看的章節，這一章寫得非常非常的好！）
作者在這本書的第一句話就充滿了寓意：「零的形象，看似空無一物
；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」作者感觸到：「零並非是神賜之物，唯有熱切追尋它的人，才得以一窺其堂奧。」於是，作者努力引領我們追尋零與世界的深層關聯。這趟追尋之旅，在不同的章節，作者時而化身為考古學家、歷史學家，時而化身為數學家，甚至他還同時扮演了文化觀察者、宗教分析家、求道者與詩人的角色——我們可以說，這本書不但是關於零的歷史書、探險書，而且還是作者對於零的沉思錄。作者俯首沉思「零」的本質，我們想問：這是一段怎麼樣的歷程呢？作者表示：「這是一段摸索與啟示參半的歷程。『零』是在靈感下激揚的觀念，它雖然可能旋即蟄伏數個世紀，卻又可能在變換的思潮中乍然崛起，『零』也是一場在猜測與驗證、想像與邏輯之間持續進行的對談！」（在這本書，作者對於「零」的沉思是具有脈絡性與引申性的，如果只有看我這篇導讀文章，可能會「沒有感觸」，所以還是建議大家先看過這本書。）
談到作者對於零的沉思，在此書最末章的結語處，作者的感觸就更有意思了，作者寫道：「我在萬物之間、時間之中完成本書。世界向四面八方延伸，自一個沉默中心畫出它的座標，……它就如 Wallace Stevens 筆下的雪人，凝神靜聽、默默注視：不存在的無，正是無之所在。」——這是什麼意思呢？這本書的最後一章正是名為〈無法想像〉，無法想像並不是說我們無法神會「零」的深意，而是一如佛曰不可說，亦如當代哲學家維根斯坦（Ludwig Wittgenstein ）的箴言 ：「 對於那不可說的，我們只能保持沉默。……而且那不可說的、只能在沉默中顯示的東西，永遠比可說的東西重要！」在沉默之中所顯示的東西，正是作者從「零」那裡所心領神會的：它充斥於整個世界，它是整個世界，它難以捉摸，它卻是我們自身
……一如自零衍生而出的數學，零既包含全部、也包含於全部之內，……這不就是確認了萬物的完整性！這不就是天使吟唱的「天地」，以及那大自然裡再度被發現的「碎形」！……當我們看破這一切區別，「存在」與「不在」皆是偽觀念，世界「是空」、「是有」皆是「任我們選擇」。
對於求道者而言，世界「是空」、「是有」的爭論是種兩難的處境。 在談到 f(x)＝Xx 的非線性函數圖形以及 00 定義問題之兩難性的同時 ， 作者懷著美學的信念說到：「無論我們是否願意，這個世界的結構都太過驚人，使它無法實體化（確定化），但是心智自有其奇蹟般的力量，會設法脫離這種兩難困境。」——讓我們來看看，心智怎麼樣來藉助那奇蹟般的力量 。當我們對二次多項式 x2 －１＝０ 作因式分解時，可以藉助以下的式子 x2 －x＋x－１＝０，也就是說，我們將不存在的０視為 －x＋x， 因而得到因式分解的最後結果 (x－1)(x＋1)＝０， 從這個式子我們還可以確定以下的求解： (x－1)＝０或 (x＋1)＝０， 即 x＝－1 或 x＝1。 這意味著什麼？零不但是巧妙的偽裝者，而且零還可以「無中生有」。可見，在我們面對世界「是空」、「是有」的兩難處境時，零——在上一段裡，那沉默之中所顯示的東西——已經給了我們深刻的啟發，正如同作者所說的，讓我在這裡重複一次：……當我們看破這一切區別，「存在」與「不在」皆是偽觀念，世界「是空」、「是有」皆是「任我們選擇」。
是否，那沉默之中所顯示的東西就是固定不變的？讓我們從最末章再翻回最首章（順便配合此書作者那種百轉千迴的思路），作者回答了我們
：「這永遠沒有完成之時，而且會不斷發出誘人的召喚，令人想深入，卻又永遠無法完成，這正是零的最佳寫照。」我們又要問：這麼說來，那沉默之中所顯示的東西是變動不居、無法定位的嗎？作者表示：「零也是事物的平衡點，它是無限小與無限大的中繼站，它是空無與萬有的交匯處，它位於正數與負數的中心，它因而更是座標系統的樞紐，讓我們得以安全地在座標系統上定位，來回穿梭。」雖然零看起來是某種平衡點，可是零也帶來了無限虛空的曠野恐懼，不是嗎？針對這樣的問題，我很喜歡作者以下象徵性的回覆：「即使在自我破滅時，沒有格線的座標空間依然存在
！身處於那看似無限、無中心的空間，而我們卻可以將我們的運動慣性參考系統，隨意設定在此空間的任何位置！」（這呼應了作者對於愛因斯坦相對論的解讀）接著，作者引述了巴斯卡在《沉思錄》的這段話：「可見世界……為一無限球體，其中心無所不在。」作者又繼續將觀念引渡到這句古希臘哲語：「人是萬物的尺度」，正是因為人是萬物的尺度、正因為世界其中心無所不在、正因為我們可以將自身的參考系隨意設定於空間任一處，所以作者領悟出了那沉默之中所顯示的東西。我們可以再連結到上一段末尾，我所重複的那段話——顯然從這樣的串連，我們便可以看出作者藉由「零」所想要表達的世界觀與形上學信念。
讓我再多談一點。作者在這本書最後的那句話：「不存在的無，正是無之所在。」──還蘊涵著整體、圓滿與完整的深意！所以作者在關鍵之處提到了「碎形」（在型態上自我相似、自我相仿，而蘊涵重複結構之整體性的幾何概念），那正呼應著這樣的概念：零既包含全部、也包含於全部之內 。作者引述小說家 Virginia Woolf 的段落說 ：「一件事突然強烈地震撼了我……我望著前門旁的花床，『那才叫完整！』我說。我望著枝葉舒展的植物，一切豁然開朗，花本身是泥土的一部份，它像一個環般圈住了這朵花的本質；這才是真正的花：部分是泥土，部分花。」作者繼續說
：「竭誠努力的結果是到達零的境界，……隨著人世的一再淨化，零的價值也不斷增加！」談到這裡，我還要串連回上一段末尾，所提到的：「人是萬物的尺度 」——作者想像著自己是 Lorenz Oken， 在旅行中頓悟到生命的本質：「因此生命只是一個數學問題——它不斷昇華，最後終於成為人！神是無限的力量，但人是無限的延伸！萬物都源自海洋黏液，因為愛神正是自海洋的泡沫中誕生。不斷增加的負數，穿過黏液往下擴展，而往上延伸的，則是不斷增加的正數，經過零，乃至於人！」
我幫作者串連來串連去的，也該到了尾聲。但是請允許我再作最後一次的串連，那就是象徵輪迴與環繞世界的 Ouroboros 圖，字義便是「吞食
自己尾巴的蛇」，在古代它暗示著自己的頭吃自己的頭的困境以及生死交會的矛盾，可是它也正形成一個圓——「零」的原型。如果這條蛇再扭動一下，稍作變形，就成了代表無限的「∞」符號。如果我們把蛇頭表示為「無限大」，而蛇尾表示為「無限小」，那麼「吞食自己尾巴的蛇」也正是象徵著無限大與無限小的契合與交會，它們彼此生成也彼此相扣，它們由零而起，也由零而終。那「吞食自己尾巴的蛇」看似運動不止，卻又在競逐之間獲致平衡，它涵蓋整個世界從無限大到無限小的事物，它卻告訴我們：它只是一個零，匯集矛盾、圓滿與創造之源於一身的「不存在的無」，而它竟是「無之所在」！Robert Kaplan 教授在這本書談的不只是零，他更想要談的是修行觀與世界觀，那修行的方式正是（我們再回到這本書最首章的第一句話
）「那似乎空無一物；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」
如果你面前有個大碗，裡面放了七顆蘋果，這個「七」到底是屬於誰
？它不屬於放置蘋果的大碗，它也不屬於任何一顆蘋果，甚至不屬於你最後數到的那顆蘋果，因為你隨時可以調換蘋果的的次序，那麼，這個「七
」到底是屬於誰？聰明的數學家說，這個「七」是包含七個物體（元素）的集合所指涉的對象。但是，如果你吃掉其中一顆蘋果，「七」又跑到哪裡去了呢？如果把蘋果一顆一顆都吃完，那麼碗裡面只剩下零顆蘋果，這個「零」又是指誰呢？聰明的數學家說，這個「零」是不含物體的集合所指涉的對象。然而，數學家這時候也不免會皺一下眉頭，因為「不含物體的集合」是什麼東東啊？「不含物體的集合」就是「空集合」，要讓「零
」存在就必須令「空集合」存在，所以集合論最重要、最基本的公設是：有個集合存在，即空集合，它不包含有任何元素！（請參看我的另一篇文章《從集合論公設「空集合存在」談起》）所謂的公設便是，說不出所以然的定理，換句話說，就是沒它不行，可是又沒有什麼道理的道理。
為什麼不包含任何元素的集合會存在呢？數學家們也感到疑惑，更大條的是，現代數學可以說是建立在空集合之上的。因為空集合存在，零於是存在，而包含一個空集合的集合被視為是１的定義，再來，零與１必須存在，所有的數字才能夠從零與１產生出來。換句話說，整個數學大廈的建築架構是：包含空集合的集合論定義出了零與１等等的自然數（然而，並非是所有數學家皆認同集合論比自然數更為基礎，也就是說，自然數的觀念也可以是不源於集合論），接著自然數與代數算術的結合，發展出了囊括有理數、無理數、實數、複數……的──主要數學分支──數論、幾何學、分析學與應用數學等等。追根溯源，難怪這本書《從零開始——追蹤零的符號與意義》（ The Nothing That Is —— A Natural History of Zero ）的作者 Robert Kaplan 教授會強調 ：「 一如自零衍生而出的數學， 零既包含全部、也包含於全部之內。」（有趣的事情是，集合論裡面說「空集合是任何集合的子集」，或者說「空集合是任何非空集合的真子集」，如果不這樣便會產生矛盾。本書作者並沒有提到這件事。在這裡提醒他，他一定會很樂意加入他的書裡，因為這意味著任何事物與概念都包括空無自身
！正呼應了作者上述那句話的最後一小段：「零也包括於全部內」。）作者在這本書的第一句話也寫道：「零的形象，看似空無一物；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」
按照上面的說法，「零」似乎屬於任何東西，它卻要計算不存在事物的總數，這種深奧之處，使得作者對於「零」有更多超越數學的沉思與觸發──這本書的突出之處，就是那格局之高、所謀之大，涵蓋考古、數學
、物理、文學、詩味與禪解的智性視野。這樣來說吧，對於原本有七顆蘋果的大碗來說，零可以是碗內葡萄的數目，也可以是碗內柳丁的數目，其實任何東西都可以，這麼說來，零不但無所不在，而且無所不是，盡繫於你的悟性與選擇！這讓我們想起佛學思想的精隨「諸法自性皆空」，萬有來自空無，也回歸空無，不生不滅，不垢不淨，不增不減。亦如作者在此書最後一句話所說的：「不存在的無，正是無之所在。」當我們談論無，無不在那裡，無卻正在那裡；無不只是在那裡，它還是自己轉化的任一事物（葡萄、柳丁），也是自我繁衍的相對事物（ 1 與 -1、x 與 -x、電子與正子、物質與反物質），當這些事物再度合一，一切還是不在那裡，而回歸於無。也正是如此，「零」超乎了人們的想像，它在歷史上帶給人們各式各樣的理解與感受，有神祇般的喜悅，也有對於惡魔般的恐懼。
零在早期歷史與思想中的歷程充滿了陰謀、偽裝與誤解，就如同最早
將零傳入西方的印度旅者生涯一般。零的形象在古老印度是神祇的象徵，是匯聚創生與毀滅力量於一身的宇宙運行之理，例如在印度教與佛教密宗所使用的象徵性圖案——曼陀羅——像是零與碎形彼此結合的形象，代表修行能量的匯集點。可是在中世紀的西方人眼裡，東方是古老強大的異教中心，零同時也被視為邪惡、黑暗與蠱惑之源，迷信使得虔誠的西方教徒極度憎恨零，同時把零遺棄到神秘學世界。在煉金術裡，零的形狀就像是象徵本體轉化而「吞食自己尾巴的蛇 」的 Ouroboros 圖，類似的圓形在魔法中處處可見。直到十三、十四世紀──零以及阿拉伯數字在歐洲的商業貿易獲得成功的運用──之前，零在西方都被當作是隱晦而魅惑人心的「女妖之歌」。在發現新大陸的時代，地圖製作家會用風與蛇填補地圖上的空白角落，並且將未經探勘的海域標記為「妖怪地域」，只有當人們踏進那些未知海域，人類才從啟蒙時代轉進工業革命時代。時代遞變，「零」也繼續變換形象，等待人們發掘潛藏於零的更多秘密。
如同作者所說的，古印度的智慧閃耀著比西方歷史更亮眼的光芒，當人們發現零可以兼容一切事物的同時，這個一體兩面的零——完美的圓形——就會在我們面前改變文明的方向。無怪乎作者感觸地寫下：「它不僅是一個數字，也常用來比喻絕望與喜悅；它代表空無，卻又具有實質意義；它是萬物肇始的起源，卻又是謎中之謎。……我們在追蹤零的符號與意義曲折複雜的演變歷程時，亦將看到數學隨之發展與應用的過程──數學不僅為人所創造，亦為人類造福。」數學帶動了工程學的蓬勃發展，科技革命同時改變了人類文明的面貌，０與１的數位記號填充了我們熟知的電腦世界，電腦應用又反過來加速工程學的進步，如果我們說工程學致力於導出與解釋零的訊號，這絕非是誇大其詞，因為函數圖形的最大值與最小值都必須依靠斜率為零的計算，尋找「零」變成是工程學裡決定變數適用範圍的手段。可是零在人們滿心期待的時候，也會露出猙獰的面貌，零有時候是衝突的和解者，它有時也是戰爭的發起人
，當代物理學就非常害怕在方程式裡導出「零」，廣義相對論裡的零（除數為零產生了黑洞）讓愛因斯坦搥胸頓足，因為黑洞破壞了宇宙和諧的結構，量子力學裡的零讓眾多的物理學家吃盡苦頭，因為零把量子塑造成無法控制的搗蛋者（例如量測距離為零、體積為零使得電子的能量變成無限大）。在不同的年代、不同的領域中，零有時極其神聖，零有時被視為惡魔，零有時真的存在，零有時只是虛構之物，然而不管「零」要如何被界說，在關鍵的時刻，零總會變換面貌在人類發展的十字路口與我們相遇，零或者阻礙、零或者導引我們，直到它變成不可形容之物。
已經到了該結尾的時候。這篇文章是我第二次導讀《從零開始》，把我在上一篇導讀的未竟之處給補足。連著四個篇幅的文章，我導讀了《零的故事》（Zero：The Biography of a Dangerous Idea）與《從零開始》，這陣子，我真是三生有幸能夠攬讀這兩本──點線面皆具──的好書，讓我在短短時間內智性大開，宛如遍遊人類與「零」之間各個階段與各種層面的糾纏史（該怎麼說，這兩本書實在是太過驚人，我每讀一次都有新的聯想、新的研究方向）。對我而言，如果沒有這兩本書的「點醒」，我還不知道零與無限之間的關聯竟然是如此密切──從古希臘人對於無窮的恐懼
，到古印度人祭拜的濕婆神，到中世紀歐洲對於空無的排拒，到十七世紀科學革命的「微積分基礎」爭論，再到詩人筆下對於零、無限種種的沉思與抒發──一次就把我腦中關於零與無限之間的脈絡給聯繫起來！「零」不只是阿拉伯數字後面的零，如同一九九六年諾貝爾文學獎得主，女詩人辛波絲卡所說的：「我偏愛自由無拘的零／勝過排列在阿拉伯數字後面的零。」如果我們熱情擁抱零 ， 或許還可以體會美國作曲家 Gershwin 所寫的歌詞 ：「我一無所有／但是一無所有卻令我感到富有！」
網址:http://alumni.nctu.edu.tw/~sinner/science/talk/part_2/science190b.htm
作者：吳文成
連續幾篇文章，我將分別導讀兩本關於「零」的歷史的科普書，它們正巧都是千禧年前後在美國出版的暢銷書。前一本是年輕的科普作家暨記者 Charles Seife 寫的《 Zero：The Biography of a Dangerous Idea 》（2000）
，該書內容通俗、完整並且架構分明，在上篇文章，我以該書的章節為架構，較為詳細地介紹了「零」在哲學、科學、數學及宗教等方面的核心角色 。 而這篇文章 ， 我將導讀由哈佛大學數學教授暨教育家 Robert Kaplan 所撰寫的《 The Nothing That Is ——A Natural History of Zero 》（1999）， 中譯本是《從零開始——追蹤零的符號與意義》（究竟出版社，2002）。弘奧的文學意味與廣博的學術格局正是這本書的特色，但是對於普通讀者而言，此書並不容易閱讀。因此，不同於我導讀《零的故事》的方式，在這篇文章，我將會採取「且戰且走」、「蜻蜓點水」的導讀策略。（在零的歷史起源與數學分析的部分，《從零開始》與《零的故事》兩本書有相當多的重複，那些重複部分我在上篇文章也都談過了，所以這篇文章的重點，我將放在《從零開始》這本書當中比較隱喻性與象徵性的部分。如果你還是對「數學分析觀念」有興趣，那麼第十一章〈近乎空無〉是這本書必看的章節，這一章寫得非常非常的好！）
作者在這本書的第一句話就充滿了寓意：「零的形象，看似空無一物
；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」作者感觸到：「零並非是神賜之物，唯有熱切追尋它的人，才得以一窺其堂奧。」於是，作者努力引領我們追尋零與世界的深層關聯。這趟追尋之旅，在不同的章節，作者時而化身為考古學家、歷史學家，時而化身為數學家，甚至他還同時扮演了文化觀察者、宗教分析家、求道者與詩人的角色——我們可以說，這本書不但是關於零的歷史書、探險書，而且還是作者對於零的沉思錄。作者俯首沉思「零」的本質，我們想問：這是一段怎麼樣的歷程呢？作者表示：「這是一段摸索與啟示參半的歷程。『零』是在靈感下激揚的觀念，它雖然可能旋即蟄伏數個世紀，卻又可能在變換的思潮中乍然崛起，『零』也是一場在猜測與驗證、想像與邏輯之間持續進行的對談！」（在這本書，作者對於「零」的沉思是具有脈絡性與引申性的，如果只有看我這篇導讀文章，可能會「沒有感觸」，所以還是建議大家先看過這本書。）
談到作者對於零的沉思，在此書最末章的結語處，作者的感觸就更有意思了，作者寫道：「我在萬物之間、時間之中完成本書。世界向四面八方延伸，自一個沉默中心畫出它的座標，……它就如 Wallace Stevens 筆下的雪人，凝神靜聽、默默注視：不存在的無，正是無之所在。」——這是什麼意思呢？這本書的最後一章正是名為〈無法想像〉，無法想像並不是說我們無法神會「零」的深意，而是一如佛曰不可說，亦如當代哲學家維根斯坦（Ludwig Wittgenstein ）的箴言 ：「 對於那不可說的，我們只能保持沉默。……而且那不可說的、只能在沉默中顯示的東西，永遠比可說的東西重要！」在沉默之中所顯示的東西，正是作者從「零」那裡所心領神會的：它充斥於整個世界，它是整個世界，它難以捉摸，它卻是我們自身
……一如自零衍生而出的數學，零既包含全部、也包含於全部之內，……這不就是確認了萬物的完整性！這不就是天使吟唱的「天地」，以及那大自然裡再度被發現的「碎形」！……當我們看破這一切區別，「存在」與「不在」皆是偽觀念，世界「是空」、「是有」皆是「任我們選擇」。
對於求道者而言，世界「是空」、「是有」的爭論是種兩難的處境。 在談到 f(x)＝Xx 的非線性函數圖形以及 00 定義問題之兩難性的同時 ， 作者懷著美學的信念說到：「無論我們是否願意，這個世界的結構都太過驚人，使它無法實體化（確定化），但是心智自有其奇蹟般的力量，會設法脫離這種兩難困境。」——讓我們來看看，心智怎麼樣來藉助那奇蹟般的力量 。當我們對二次多項式 x2 －１＝０ 作因式分解時，可以藉助以下的式子 x2 －x＋x－１＝０，也就是說，我們將不存在的０視為 －x＋x， 因而得到因式分解的最後結果 (x－1)(x＋1)＝０， 從這個式子我們還可以確定以下的求解： (x－1)＝０或 (x＋1)＝０， 即 x＝－1 或 x＝1。 這意味著什麼？零不但是巧妙的偽裝者，而且零還可以「無中生有」。可見，在我們面對世界「是空」、「是有」的兩難處境時，零——在上一段裡，那沉默之中所顯示的東西——已經給了我們深刻的啟發，正如同作者所說的，讓我在這裡重複一次：……當我們看破這一切區別，「存在」與「不在」皆是偽觀念，世界「是空」、「是有」皆是「任我們選擇」。
是否，那沉默之中所顯示的東西就是固定不變的？讓我們從最末章再翻回最首章（順便配合此書作者那種百轉千迴的思路），作者回答了我們
：「這永遠沒有完成之時，而且會不斷發出誘人的召喚，令人想深入，卻又永遠無法完成，這正是零的最佳寫照。」我們又要問：這麼說來，那沉默之中所顯示的東西是變動不居、無法定位的嗎？作者表示：「零也是事物的平衡點，它是無限小與無限大的中繼站，它是空無與萬有的交匯處，它位於正數與負數的中心，它因而更是座標系統的樞紐，讓我們得以安全地在座標系統上定位，來回穿梭。」雖然零看起來是某種平衡點，可是零也帶來了無限虛空的曠野恐懼，不是嗎？針對這樣的問題，我很喜歡作者以下象徵性的回覆：「即使在自我破滅時，沒有格線的座標空間依然存在
！身處於那看似無限、無中心的空間，而我們卻可以將我們的運動慣性參考系統，隨意設定在此空間的任何位置！」（這呼應了作者對於愛因斯坦相對論的解讀）接著，作者引述了巴斯卡在《沉思錄》的這段話：「可見世界……為一無限球體，其中心無所不在。」作者又繼續將觀念引渡到這句古希臘哲語：「人是萬物的尺度」，正是因為人是萬物的尺度、正因為世界其中心無所不在、正因為我們可以將自身的參考系隨意設定於空間任一處，所以作者領悟出了那沉默之中所顯示的東西。我們可以再連結到上一段末尾，我所重複的那段話——顯然從這樣的串連，我們便可以看出作者藉由「零」所想要表達的世界觀與形上學信念。
讓我再多談一點。作者在這本書最後的那句話：「不存在的無，正是無之所在。」──還蘊涵著整體、圓滿與完整的深意！所以作者在關鍵之處提到了「碎形」（在型態上自我相似、自我相仿，而蘊涵重複結構之整體性的幾何概念），那正呼應著這樣的概念：零既包含全部、也包含於全部之內 。作者引述小說家 Virginia Woolf 的段落說 ：「一件事突然強烈地震撼了我……我望著前門旁的花床，『那才叫完整！』我說。我望著枝葉舒展的植物，一切豁然開朗，花本身是泥土的一部份，它像一個環般圈住了這朵花的本質；這才是真正的花：部分是泥土，部分花。」作者繼續說
：「竭誠努力的結果是到達零的境界，……隨著人世的一再淨化，零的價值也不斷增加！」談到這裡，我還要串連回上一段末尾，所提到的：「人是萬物的尺度 」——作者想像著自己是 Lorenz Oken， 在旅行中頓悟到生命的本質：「因此生命只是一個數學問題——它不斷昇華，最後終於成為人！神是無限的力量，但人是無限的延伸！萬物都源自海洋黏液，因為愛神正是自海洋的泡沫中誕生。不斷增加的負數，穿過黏液往下擴展，而往上延伸的，則是不斷增加的正數，經過零，乃至於人！」
我幫作者串連來串連去的，也該到了尾聲。但是請允許我再作最後一次的串連，那就是象徵輪迴與環繞世界的 Ouroboros 圖，字義便是「吞食
自己尾巴的蛇」，在古代它暗示著自己的頭吃自己的頭的困境以及生死交會的矛盾，可是它也正形成一個圓——「零」的原型。如果這條蛇再扭動一下，稍作變形，就成了代表無限的「∞」符號。如果我們把蛇頭表示為「無限大」，而蛇尾表示為「無限小」，那麼「吞食自己尾巴的蛇」也正是象徵著無限大與無限小的契合與交會，它們彼此生成也彼此相扣，它們由零而起，也由零而終。那「吞食自己尾巴的蛇」看似運動不止，卻又在競逐之間獲致平衡，它涵蓋整個世界從無限大到無限小的事物，它卻告訴我們：它只是一個零，匯集矛盾、圓滿與創造之源於一身的「不存在的無」，而它竟是「無之所在」！Robert Kaplan 教授在這本書談的不只是零，他更想要談的是修行觀與世界觀，那修行的方式正是（我們再回到這本書最首章的第一句話）「那似乎空無一物；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」
如果你面前有個大碗，裡面放了七顆蘋果，這個「七」到底是屬於誰
？它不屬於放置蘋果的大碗，它也不屬於任何一顆蘋果，甚至不屬於你最後數到的那顆蘋果，因為你隨時可以調換蘋果的的次序，那麼，這個「七
」到底是屬於誰？聰明的數學家說，這個「七」是包含七個物體（元素）的集合所指涉的對象。但是，如果你吃掉其中一顆蘋果，「七」又跑到哪裡去了呢？如果把蘋果一顆一顆都吃完，那麼碗裡面只剩下零顆蘋果，這個「零」又是指誰呢？聰明的數學家說，這個「零」是不含物體的集合所指涉的對象。然而，數學家這時候也不免會皺一下眉頭，因為「不含物體的集合」是什麼東東啊？「不含物體的集合」就是「空集合」，要讓「零
」存在就必須令「空集合」存在，所以集合論最重要、最基本的公設是：有個集合存在，即空集合，它不包含有任何元素！（請參看我的另一篇文章《從集合論公設「空集合存在」談起》）所謂的公設便是，說不出所以然的定理，換句話說，就是沒它不行，可是又沒有什麼道理的道理。
為什麼不包含任何元素的集合會存在呢？數學家們也感到疑惑，更大條的是，現代數學可以說是建立在空集合之上的。因為空集合存在，零於是存在，而包含一個空集合的集合被視為是１的定義，再來，零與１必須存在，所有的數字才能夠從零與１產生出來。換句話說，整個數學大廈的建築架構是：包含空集合的集合論定義出了零與１等等的自然數（然而，並非是所有數學家皆認同集合論比自然數更為基礎，也就是說，自然數的觀念也可以是不源於集合論），接著自然數與代數算術的結合，發展出了囊括有理數、無理數、實數、複數……的──主要數學分支──數論、幾何學、分析學與應用數學等等。追根溯源，難怪這本書《從零開始——追蹤零的符號與意義》（ The Nothing That Is —— A Natural History of Zero ）的作者 Robert Kaplan 教授會強調 ：「 一如自零衍生而出的數學， 零既包含全部、也包含於全部之內。」（有趣的事情是，集合論裡面說「空集合是任何集合的子集」，或者說「空集合是任何非空集合的真子集」，如果不這樣便會產生矛盾。本書作者並沒有提到這件事。在這裡提醒他，他一定會很樂意加入他的書裡，因為這意味著任何事物與概念都包括空無自身
！正呼應了作者上述那句話的最後一小段：「零也包括於全部內」。）作者在這本書的第一句話也寫道：「零的形象，看似空無一物；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」
按照上面的說法，「零」似乎屬於任何東西，它卻要計算不存在事物的總數，這種深奧之處，使得作者對於「零」有更多超越數學的沉思與觸發──這本書的突出之處，就是那格局之高、所謀之大，涵蓋考古、數學
、物理、文學、詩味與禪解的智性視野。這樣來說吧，對於原本有七顆蘋果的大碗來說，零可以是碗內葡萄的數目，也可以是碗內柳丁的數目，其實任何東西都可以，這麼說來，零不但無所不在，而且無所不是，盡繫於你的悟性與選擇！這讓我們想起佛學思想的精隨「諸法自性皆空」，萬有來自空無，也回歸空無，不生不滅，不垢不淨，不增不減。亦如作者在此書最後一句話所說的：「不存在的無，正是無之所在。」當我們談論無，無不在那裡，無卻正在那裡；無不只是在那裡，它還是自己轉化的任一事物（葡萄、柳丁），也是自我繁衍的相對事物（ 1 與 -1、x 與 -x、電子與正子、物質與反物質），當這些事物再度合一，一切還是不在那裡，而回歸於無。也正是如此，「零」超乎了人們的想像，它在歷史上帶給人們各式各樣的理解與感受，有神祇般的喜悅，也有對於惡魔般的恐懼。
零在早期歷史與思想中的歷程充滿了陰謀、偽裝與誤解，就如同最早
將零傳入西方的印度旅者生涯一般。零的形象在古老印度是神祇的象徵，是匯聚創生與毀滅力量於一身的宇宙運行之理，例如在印度教與佛教密宗所使用的象徵性圖案——曼陀羅——像是零與碎形彼此結合的形象，代表修行能量的匯集點。可是在中世紀的西方人眼裡，東方是古老強大的異教中心，零同時也被視為邪惡、黑暗與蠱惑之源，迷信使得虔誠的西方教徒極度憎恨零，同時把零遺棄到神秘學世界。在煉金術裡，零的形狀就像是象徵本體轉化而「吞食自己尾巴的蛇 」的 Ouroboros 圖，類似的圓形在魔法中處處可見。直到十三、十四世紀──零以及阿拉伯數字在歐洲的商業貿易獲得成功的運用──之前，零在西方都被當作是隱晦而魅惑人心的「女妖之歌」。在發現新大陸的時代，地圖製作家會用風與蛇填補地圖上的空白角落，並且將未經探勘的海域標記為「妖怪地域」，只有當人們踏進那些未知海域，人類才從啟蒙時代轉進工業革命時代。時代遞變，「零」也繼續變換形象，等待人們發掘潛藏於零的更多秘密。如同作者所說的，古印度的智慧閃耀著比西方歷史更亮眼的光芒，當人們發現零可以兼容一切事物的同時，這個一體兩面的零——完美的圓形——就會在我們面前改變文明的方向。無怪乎作者感觸地寫下：「它不僅是一個數字，也常用來比喻絕望與喜悅；它代表空無，卻又具有實質意義；它是萬物肇始的起源，卻又是謎中之謎。……我們在追蹤零的符號與意義曲折複雜的演變歷程時，亦將看到數學隨之發展與應用的過程──數學不僅為人所創造，亦為人類造福。」數學帶動了工程學的蓬勃發展，科技革命同時改變了人類文明的面貌，０與１的數位記號填充了我們熟知的電腦世界，電腦應用又反過來加速工程學的進步，如果我們說工程學致力於導出與解釋零的訊號，這絕非是誇大其詞，因為函數圖形的最大值與最小值都必須依靠斜率為零的計算，尋找「零」變成是工程學裡決定變數適用範圍的手段。可是零在人們滿心期待的時候，也會露出猙獰的面貌，零有時候是衝突的和解者，它有時也是戰爭的發起人
，當代物理學就非常害怕在方程式裡導出「零」，廣義相對論裡的零（除數為零產生了黑洞）讓愛因斯坦搥胸頓足，因為黑洞破壞了宇宙和諧的結構，量子力學裡的零讓眾多的物理學家吃盡苦頭，因為零把量子塑造成無法控制的搗蛋者（例如量測距離為零、體積為零使得電子的能量變成無限大）。在不同的年代、不同的領域中，零有時極其神聖，零有時被視為惡魔，零有時真的存在，零有時只是虛構之物，然而不管「零」要如何被界說，在關鍵的時刻，零總會變換面貌在人類發展的十字路口與我們相遇，零或者阻礙、零或者導引我們，直到它變成不可形容之物。
已經到了該結尾的時候。這篇文章是我第二次導讀《從零開始》，把我在上一篇導讀的未竟之處給補足。連著四個篇幅的文章，我導讀了《零的故事》（Zero：The Biography of a Dangerous Idea）與《從零開始》，這陣子，我真是三生有幸能夠攬讀這兩本──點線面皆具──的好書，讓我在短短時間內智性大開，宛如遍遊人類與「零」之間各個階段與各種層面的糾纏史（該怎麼說，這兩本書實在是太過驚人，我每讀一次都有新的聯想、新的研究方向）。對我而言，如果沒有這兩本書的「點醒」，我還不知道零與無限之間的關聯竟然是如此密切──從古希臘人對於無窮的恐懼
，到古印度人祭拜的濕婆神，到中世紀歐洲對於空無的排拒，到十七世紀科學革命的「微積分基礎」爭論，再到詩人筆下對於零、無限種種的沉思與抒發──一次就把我腦中關於零與無限之間的脈絡給聯繫起來！「零」不只是阿拉伯數字後面的零，如同一九九六年諾貝爾文學獎得主，女詩人辛波絲卡所說的：「我偏愛自由無拘的零／勝過排列在阿拉伯數字後面的零。」如果我們熱情擁抱零 ， 或許還可以體會美國作曲家 Gershwin 所寫的歌詞 ：「我一無所有／但是一無所有卻令我感到富有！」
- 3月 14 週二 200620:38
「單身，到底是勇敢？還是膽小？」
蕭蔓／文 鄭佳玲／圖 轉載自http://www.commonhealth.com.tw/Life/issue005/single.htm
「單身，到底是勇敢？還是膽小？」我的一個已婚的朋友這樣問我。彷彿這是哈姆雷特應該回答的問題，莎士比亞名劇中的男主角，面對生命的重要抉擇，性格中的一體兩面：要與不要、做與不做、to be or not to be……，兩種迥然不同的決定，同時發聲。「既不是勇敢，也不是膽小，」事實上，這個問題不容易回答，我只能憑靠直覺：「單身，只是一種角色。」
如同我的朋友，已婚，擁有不同的角色；妻子、媳婦、母親、嫂嫂或者弟妹，經常瞬間移動，轉換不同的角色，擔負不同的責任，別人也對她懷有不同的期望，「單身，可能只是角色單純些，」我常常私下慶幸，身為單身，活在世上，好像比已婚少了許多責任，至少，假如我不擅廚藝、不想生育，我不必對誰表示抱歉，也不必為誰勉強自己。
然而，已婚，面對配偶、面對家庭，不論再開放的關係，總是比單身多了許多付出，差別只在付出的心甘情願還是委曲求全。我認識一些中年女性，經常見她們在事業與家庭間「超級效率」，不但做完和單身一般份量的全職工作，還同時為婆婆煮早飯、替孩子帶便當、幫丈夫燙襯衫、買全家人吃的菜、洗全家人的髒衣服……，如此多的工作量，通常她們竟然還能逛街買衣服、染頭髮、做臉、約朋友喝個下午茶，角色轉換的類型之多與速度之快，單身，多半只能搖頭贊歎，私下慶幸自己孤家寡人。
單純的角色，未必容易扮演
單身的角色，顯然比已婚單純，可是單純的角色，卻不一定比較容易扮演。甚至有時候，因為缺乏「固定生命目標」，既沒有人期待我們精通廚藝，若不是自己有興趣，恐怕一輩子都沒有機會享受懂得燒一桌子好菜，吃得大家高高興興的滿足感。或者在生活發生困境的時候，也因為沒有「固定抱怨目標」，一肚子空虛與孤寂，化成氣與怨，才真不知為誰而戰？為何而戰？
倒不是說已婚的人應該動輒抱怨家人，只是說生活中稍有不順，有個抱怨目標，「嗨！對不起，我又遲到了，都是我兒子不肯好好寫功課。」我的已婚朋友說這句話的時候，臉上的歉容中多了一份為人母的溫柔。對她、對我，都是一種值得包容的紓解。而單身，卻經常必需獨自處理自己的困境，「塞車？你為什麼不早一點出門！」沒有抱怨的歸依，有時候，生命變得嚴厲起來。
不論是不是因為丈夫沒有回家吃晚飯，或者兒子的學校功課總是太多，已婚的人，情緒上受到的干擾，多半清晰明瞭，通常也可以在朋友聚會場合，彼此述說、溝通。單身，卻總是神秘、隱晦的多，「怎麼說呢？我也不知道為什麼我心情不好？」
結婚，真能讓人否極泰來？
雖然沒有明確統計，到底是單身還是已婚，誰的心情容易不好？可是已婚的人心情不好，大家一定先猜，「一定又是她丈夫昨天沒有回家吃晚飯。」或者「又是她兒子功課沒寫完。」可是，單身的心情不好，毫無推卸的對象，「都是因為她沒結婚，陰陽怪氣的。」
好像結婚，真能讓人否極泰來？
事實上，婚姻從來都不是角色成功的原因。不論單純的角色，如單身，或者多元的角色，如已婚。一個人，在生命中，自我價值與自我形象，才是決定任何角色成功與否的關鍵。重要的是察覺到自己的「位子」在哪？遇到狀況，先釐清自己，讓情緒像浮在水面的泡沫，而澄清的自我則和諧而安靜，這時候，不禁想起哲理詩人赫塞所說：「生命並不是一種計算，它不是一種數學的總合，而是一種奇蹟。」就像單身、已婚，各自擔任不同的生命角色，赫塞說得好：「因此終我一生，每一件東西皆捲土重來，同樣的需要、同樣的慾望與喜悅、同樣的誘惑，不斷的犯錯，重遇相同的境遇，然而，生命卻永遠是一種新的遊戲……。它永遠令人感到美麗、危險與興奮。」
於是，我可以回答我的朋友：「單身，不是勇敢，也不是膽小，而是美麗、危險與興奮，是我的生命。」。
- 1月 14 週六 200613:52
先有雞還是先有蛋?
作者﹕徐剛
雅虎知識:
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1405102111025
【大紀元8月18日訊】古希臘有個青年人認為自己比大哲學家蘇格拉底還聰明。
有一天，蘇格拉底問他一個問題。「世間是先有雞還是先有蛋？」
青年人不假思索地回答：「雞是從蛋中孵出來的，自然是先有蛋啦！」
「蛋是雞下的，沒有雞，蛋從哪裏來？」
青年人想了想說：「那還是先有雞！」
「妳剛才已經說過，雞是從蛋孵出來的。沒有蛋，雞從哪裏來呢？」
青年人抱怨說：「你怎麼提出這樣一個怪問題呢？現在我也問你一個問題。」
「請說吧。」
「你說是先有雞還是先有蛋？」
蘇格拉底老老實實地回答：「我不知道。」
青年人笑了：「這樣看來，你和我其實差不多啊！」
蘇格拉底說：「不！妳是以不知為知，我是以不知為不知。以不知為知非知，以不知為不知非不知矣！」
有一天，蘇格拉底問他一個問題。「世間是先有雞還是先有蛋？」
青年人不假思索地回答：「雞是從蛋中孵出來的，自然是先有蛋啦！」
「蛋是雞下的，沒有雞，蛋從哪裏來？」
青年人想了想說：「那還是先有雞！」
「妳剛才已經說過，雞是從蛋孵出來的。沒有蛋，雞從哪裏來呢？」
青年人抱怨說：「你怎麼提出這樣一個怪問題呢？現在我也問你一個問題。」
「請說吧。」
「你說是先有雞還是先有蛋？」
蘇格拉底老老實實地回答：「我不知道。」
青年人笑了：「這樣看來，你和我其實差不多啊！」
蘇格拉底說：「不！妳是以不知為知，我是以不知為不知。以不知為知非知，以不知為不知非不知矣！」
顯然，大哲學家蘇格拉底是一位善於提問題的大家，而且能勇於承認自己的不知，並努力探索未知的大師。
先有雞還是先有蛋？這一看似簡單卻又十分深奧的問題，不僅使普通人不能夠回答，就連那些哲學大師們也是一籌莫展，不知究竟是先有雞還是先有蛋。做為古代哲學家的老子，雖然沒有提出和回答這個問題，但是他的哲學思想和不同境界的學說對於幫助我們解決它很有啟發性。
這裡有一個問題，既然雞是蛋孵出來的，蛋又是雞生出來的，它們互為因果，所以就很難說清楚誰先誰後，我們陷入了難解的困境。我們之所以解答不了先有雞還是先有蛋這個問題，是因為我們生活在雞生蛋和蛋孵雞的境界之中，所以才「不識廬山真面目，只緣生在此山中。」
有一個小故事，父親問他的兒子：「你在大學學的是甚麼？」兒子回答：「哲學。」父親繼續問：「哲學是甚麼？」兒子說：「比如說飯桌上這隻雞，這是看得見的雞，哲學就是抽像的雞。」父親問：「甚麼是抽像的雞？」兒子答：「抽像的雞就是那只看不見的雞。」父親眼睛一瞪：「哲學原來是看不見的雞？」說著端起飯桌上的雞轉身就走，「那你就吃你那看不見的雞吧！」
這個小故事使人聯想到哲學研究的對象是「那只看不見的雞」，的確如此，哲學著重探索的不是 「形而下」的世界，更應該是「形而上」的世界。「形而下」的世界就是有形的世界，後天的世界，「形而上」的世界，是無形的世界，先天世界。古人說，氣聚合而成形，氣沒有聚合之前未成形。成形的世界就是我們現在所生活的現實世界，未成形的世界就是古人說的太極世界。老子說過這樣一段重要的話：「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」所謂道生一，是無極化生太極，所謂一生二，是太極化生為陰陽，所謂二生三，是陰陽相互作用而化生新的東西，然後新的東西又產生萬物。在這裡，無機和太極可以看成是無形的東西，是先天，產生陰陽，就是有形的東西，是後天。先天是一生二，後天是二生三，先天是看不見的雞化生出看得見的雞，後天是看得見的公雞和母雞生了蛋，然後蛋孵雞，雞生蛋，產生萬千。先天是一生二，後天是二生三（就是二生一）。
我們之所以陷入困境，就是因為我們用後天的思維方式和因果邏輯去思考先天的事實，卻不知道，這裡存在著兩個世界，先天與後天，「形而上」與「形而下」的兩種差異。我們認識不到先天世界，當然就不可能認清後天的世界。就如同我們認識不到無，就不可能深刻認識有，因為在有中故不見有。也因為在無中故不見無，所以認識事物要從正反兩個方面去認識，否則永遠陷入雞生蛋，蛋孵雞的循環因果之中，而找不到它的開端。看來從後天逆推先天，從後天境界體悟先天境界，認識了事物的先天與後天，方能明白其中的奧妙。(http://www.dajiyuan.com)
8/18/2005 9:34:29 PM
本文網址: http://www.epochtimes.com/bt/5/8/18/n1023312.htm雅虎知識:
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1405102111025
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