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連續幾篇文章，我將分別導讀兩本關於「零」的歷史的科普書，它們正巧都是千禧年前後在美國出版的暢銷書。前一本是年輕的科普作家暨記者 Charles Seife 寫的《 Zero：The Biography of a Dangerous Idea 》（2000）
，該書內容通俗、完整並且架構分明，在上篇文章，我以該書的章節為架構，較為詳細地介紹了「零」在哲學、科學、數學及宗教等方面的核心角色 。 而這篇文章 ， 我將導讀由哈佛大學數學教授暨教育家 Robert Kaplan 所撰寫的《 The Nothing That Is ——A Natural History of Zero 》（1999）， 中譯本是《從零開始——追蹤零的符號與意義》（究竟出版社，2002）。弘奧的文學意味與廣博的學術格局正是這本書的特色，但是對於普通讀者而言，此書並不容易閱讀。因此，不同於我導讀《零的故事》的方式，在這篇文章，我將會採取「且戰且走」、「蜻蜓點水」的導讀策略。（在零的歷史起源與數學分析的部分，《從零開始》與《零的故事》兩本書有相當多的重複，那些重複部分我在上篇文章也都談過了，所以這篇文章的重點，我將放在《從零開始》這本書當中比較隱喻性與象徵性的部分。如果你還是對「數學分析觀念」有興趣，那麼第十一章〈近乎空無〉是這本書必看的章節，這一章寫得非常非常的好！）

　　作者在這本書的第一句話就充滿了寓意：「零的形象，看似空無一物
；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」作者感觸到：「零並非是神賜之物，唯有熱切追尋它的人，才得以一窺其堂奧。」於是，作者努力引領我們追尋零與世界的深層關聯。這趟追尋之旅，在不同的章節，作者時而化身為考古學家、歷史學家，時而化身為數學家，甚至他還同時扮演了文化觀察者、宗教分析家、求道者與詩人的角色——我們可以說，這本書不但是關於零的歷史書、探險書，而且還是作者對於零的沉思錄。作者俯首沉思「零」的本質，我們想問：這是一段怎麼樣的歷程呢？作者表示：「這是一段摸索與啟示參半的歷程。『零』是在靈感下激揚的觀念，它雖然可能旋即蟄伏數個世紀，卻又可能在變換的思潮中乍然崛起，『零』也是一場在猜測與驗證、想像與邏輯之間持續進行的對談！」（在這本書，作者對於「零」的沉思是具有脈絡性與引申性的，如果只有看我這篇導讀文章，可能會「沒有感觸」，所以還是建議大家先看過這本書。）

　　談到作者對於零的沉思，在此書最末章的結語處，作者的感觸就更有意思了，作者寫道：「我在萬物之間、時間之中完成本書。世界向四面八方延伸，自一個沉默中心畫出它的座標，……它就如 Wallace Stevens 筆下的雪人，凝神靜聽、默默注視：不存在的無，正是無之所在。」——這是什麼意思呢？這本書的最後一章正是名為〈無法想像〉，無法想像並不是說我們無法神會「零」的深意，而是一如佛曰不可說，亦如當代哲學家維根斯坦（Ludwig Wittgenstein ）的箴言 ：「 對於那不可說的，我們只能保持沉默。……而且那不可說的、只能在沉默中顯示的東西，永遠比可說的東西重要！」在沉默之中所顯示的東西，正是作者從「零」那裡所心領神會的：它充斥於整個世界，它是整個世界，它難以捉摸，它卻是我們自身
……一如自零衍生而出的數學，零既包含全部、也包含於全部之內，……這不就是確認了萬物的完整性！這不就是天使吟唱的「天地」，以及那大自然裡再度被發現的「碎形」！……當我們看破這一切區別，「存在」與「不在」皆是偽觀念，世界「是空」、「是有」皆是「任我們選擇」。

　　對於求道者而言，世界「是空」、「是有」的爭論是種兩難的處境。 在談到 f(x)＝X^x 的非線性函數圖形以及 0⁰ 定義問題之兩難性的同時 ， 作者懷著美學的信念說到：「無論我們是否願意，這個世界的結構都太過驚人，使它無法實體化（確定化），但是心智自有其奇蹟般的力量，會設法脫離這種兩難困境。」——讓我們來看看，心智怎麼樣來藉助那奇蹟般的力量 。當我們對二次多項式 x² －１＝０ 作因式分解時，可以藉助以下的式子 x² －x＋x－１＝０，也就是說，我們將不存在的０視為 －x＋x， 因而得到因式分解的最後結果 (x－1)(x＋1)＝０， 從這個式子我們還可以確定以下的求解： (x－1)＝０或 (x＋1)＝０， 即 x＝－1 或 x＝1。 這意味著什麼？零不但是巧妙的偽裝者，而且零還可以「無中生有」。可見，在我們面對世界「是空」、「是有」的兩難處境時，零——在上一段裡，那沉默之中所顯示的東西——已經給了我們深刻的啟發，正如同作者所說的，讓我在這裡重複一次：……當我們看破這一切區別，「存在」與「不在」皆是偽觀念，世界「是空」、「是有」皆是「任我們選擇」。

　　是否，那沉默之中所顯示的東西就是固定不變的？讓我們從最末章再翻回最首章（順便配合此書作者那種百轉千迴的思路），作者回答了我們
：「這永遠沒有完成之時，而且會不斷發出誘人的召喚，令人想深入，卻又永遠無法完成，這正是零的最佳寫照。」我們又要問：這麼說來，那沉默之中所顯示的東西是變動不居、無法定位的嗎？作者表示：「零也是事物的平衡點，它是無限小與無限大的中繼站，它是空無與萬有的交匯處，它位於正數與負數的中心，它因而更是座標系統的樞紐，讓我們得以安全地在座標系統上定位，來回穿梭。」雖然零看起來是某種平衡點，可是零也帶來了無限虛空的曠野恐懼，不是嗎？針對這樣的問題，我很喜歡作者以下象徵性的回覆：「即使在自我破滅時，沒有格線的座標空間依然存在
！身處於那看似無限、無中心的空間，而我們卻可以將我們的運動慣性參考系統，隨意設定在此空間的任何位置！」（這呼應了作者對於愛因斯坦相對論的解讀）接著，作者引述了巴斯卡在《沉思錄》的這段話：「可見世界……為一無限球體，其中心無所不在。」作者又繼續將觀念引渡到這句古希臘哲語：「人是萬物的尺度」，正是因為人是萬物的尺度、正因為世界其中心無所不在、正因為我們可以將自身的參考系隨意設定於空間任一處，所以作者領悟出了那沉默之中所顯示的東西。我們可以再連結到上一段末尾，我所重複的那段話——顯然從這樣的串連，我們便可以看出作者藉由「零」所想要表達的世界觀與形上學信念。

　　讓我再多談一點。作者在這本書最後的那句話：「不存在的無，正是無之所在。」──還蘊涵著整體、圓滿與完整的深意！所以作者在關鍵之處提到了「碎形」（在型態上自我相似、自我相仿，而蘊涵重複結構之整體性的幾何概念），那正呼應著這樣的概念：零既包含全部、也包含於全部之內 。作者引述小說家 Virginia Woolf 的段落說 ：「一件事突然強烈地震撼了我……我望著前門旁的花床，『那才叫完整！』我說。我望著枝葉舒展的植物，一切豁然開朗，花本身是泥土的一部份，它像一個環般圈住了這朵花的本質；這才是真正的花：部分是泥土，部分花。」作者繼續說
：「竭誠努力的結果是到達零的境界，……隨著人世的一再淨化，零的價值也不斷增加！」談到這裡，我還要串連回上一段末尾，所提到的：「人是萬物的尺度 」——作者想像著自己是 Lorenz Oken， 在旅行中頓悟到生命的本質：「因此生命只是一個數學問題——它不斷昇華，最後終於成為人！神是無限的力量，但人是無限的延伸！萬物都源自海洋黏液，因為愛神正是自海洋的泡沫中誕生。不斷增加的負數，穿過黏液往下擴展，而往上延伸的，則是不斷增加的正數，經過零，乃至於人！」

　　我幫作者串連來串連去的，也該到了尾聲。但是請允許我再作最後一次的串連，那就是象徵輪迴與環繞世界的 Ouroboros 圖，字義便是「吞食自己尾巴的蛇」，在古代它暗示著自己的頭吃自己的頭的困境以及生死交會的矛盾，可是它也正形成一個圓——「零」的原型。如果這條蛇再扭動一下，稍作變形，就成了代表無限的「∞」符號。如果我們把蛇頭表示為「無限大」，而蛇尾表示為「無限小」，那麼「吞食自己尾巴的蛇」也正是象徵著無限大與無限小的契合與交會，它們彼此生成也彼此相扣，它們由零而起，也由零而終。那「吞食自己尾巴的蛇」看似運動不止，卻又在競逐之間獲致平衡，它涵蓋整個世界從無限大到無限小的事物，它卻告訴我們：它只是一個零，匯集矛盾、圓滿與創造之源於一身的「不存在的無」，而它竟是「無之所在」！Robert Kaplan 教授在這本書談的不只是零，他更想要談的是修行觀與世界觀，那修行的方式正是（我們再回到這本書最首章的第一句話
）「那似乎空無一物；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」

如果你面前有個大碗，裡面放了七顆蘋果，這個「七」到底是屬於誰
？它不屬於放置蘋果的大碗，它也不屬於任何一顆蘋果，甚至不屬於你最後數到的那顆蘋果，因為你隨時可以調換蘋果的的次序，那麼，這個「七
」到底是屬於誰？聰明的數學家說，這個「七」是包含七個物體（元素）的集合所指涉的對象。但是，如果你吃掉其中一顆蘋果，「七」又跑到哪裡去了呢？如果把蘋果一顆一顆都吃完，那麼碗裡面只剩下零顆蘋果，這個「零」又是指誰呢？聰明的數學家說，這個「零」是不含物體的集合所指涉的對象。然而，數學家這時候也不免會皺一下眉頭，因為「不含物體的集合」是什麼東東啊？「不含物體的集合」就是「空集合」，要讓「零
」存在就必須令「空集合」存在，所以集合論最重要、最基本的公設是：有個集合存在，即空集合，它不包含有任何元素！（請參看我的另一篇文章《從集合論公設「空集合存在」談起》）所謂的公設便是，說不出所以然的定理，換句話說，就是沒它不行，可是又沒有什麼道理的道理。

　　為什麼不包含任何元素的集合會存在呢？數學家們也感到疑惑，更大條的是，現代數學可以說是建立在空集合之上的。因為空集合存在，零於是存在，而包含一個空集合的集合被視為是１的定義，再來，零與１必須存在，所有的數字才能夠從零與１產生出來。換句話說，整個數學大廈的建築架構是：包含空集合的集合論定義出了零與１等等的自然數（然而，並非是所有數學家皆認同集合論比自然數更為基礎，也就是說，自然數的觀念也可以是不源於集合論），接著自然數與代數算術的結合，發展出了囊括有理數、無理數、實數、複數……的──主要數學分支──數論、幾何學、分析學與應用數學等等。追根溯源，難怪這本書《從零開始——追蹤零的符號與意義》（ The Nothing That Is —— A Natural History of Zero ）的作者 Robert Kaplan 教授會強調 ：「 一如自零衍生而出的數學， 零既包含全部、也包含於全部之內。」（有趣的事情是，集合論裡面說「空集合是任何集合的子集」，或者說「空集合是任何非空集合的真子集」，如果不這樣便會產生矛盾。本書作者並沒有提到這件事。在這裡提醒他，他一定會很樂意加入他的書裡，因為這意味著任何事物與概念都包括空無自身
！正呼應了作者上述那句話的最後一小段：「零也包括於全部內」。）作者在這本書的第一句話也寫道：「零的形象，看似空無一物；但是如果你洞悉它，就能看透整個世界！」

　　按照上面的說法，「零」似乎屬於任何東西，它卻要計算不存在事物的總數，這種深奧之處，使得作者對於「零」有更多超越數學的沉思與觸發──這本書的突出之處，就是那格局之高、所謀之大，涵蓋考古、數學
、物理、文學、詩味與禪解的智性視野。這樣來說吧，對於原本有七顆蘋果的大碗來說，零可以是碗內葡萄的數目，也可以是碗內柳丁的數目，其實任何東西都可以，這麼說來，零不但無所不在，而且無所不是，盡繫於你的悟性與選擇！這讓我們想起佛學思想的精隨「諸法自性皆空」，萬有來自空無，也回歸空無，不生不滅，不垢不淨，不增不減。亦如作者在此書最後一句話所說的：「不存在的無，正是無之所在。」當我們談論無，無不在那裡，無卻正在那裡；無不只是在那裡，它還是自己轉化的任一事物（葡萄、柳丁），也是自我繁衍的相對事物（ 1 與 -1、x 與 -x、電子與正子、物質與反物質），當這些事物再度合一，一切還是不在那裡，而回歸於無。也正是如此，「零」超乎了人們的想像，它在歷史上帶給人們各式各樣的理解與感受，有神祇般的喜悅，也有對於惡魔般的恐懼。

　　零在早期歷史與思想中的歷程充滿了陰謀、偽裝與誤解，就如同最早將零傳入西方的印度旅者生涯一般。零的形象在古老印度是神祇的象徵，是匯聚創生與毀滅力量於一身的宇宙運行之理，例如在印度教與佛教密宗所使用的象徵性圖案——曼陀羅——像是零與碎形彼此結合的形象，代表修行能量的匯集點。可是在中世紀的西方人眼裡，東方是古老強大的異教中心，零同時也被視為邪惡、黑暗與蠱惑之源，迷信使得虔誠的西方教徒極度憎恨零，同時把零遺棄到神秘學世界。在煉金術裡，零的形狀就像是象徵本體轉化而「吞食自己尾巴的蛇 」的 Ouroboros 圖，類似的圓形在魔法中處處可見。直到十三、十四世紀──零以及阿拉伯數字在歐洲的商業貿易獲得成功的運用──之前，零在西方都被當作是隱晦而魅惑人心的「女妖之歌」。在發現新大陸的時代，地圖製作家會用風與蛇填補地圖上的空白角落，並且將未經探勘的海域標記為「妖怪地域」，只有當人們踏進那些未知海域，人類才從啟蒙時代轉進工業革命時代。時代遞變，「零」也繼續變換形象，等待人們發掘潛藏於零的更多秘密。

　　如同作者所說的，古印度的智慧閃耀著比西方歷史更亮眼的光芒，當人們發現零可以兼容一切事物的同時，這個一體兩面的零——完美的圓形——就會在我們面前改變文明的方向。無怪乎作者感觸地寫下：「它不僅是一個數字，也常用來比喻絕望與喜悅；它代表空無，卻又具有實質意義；它是萬物肇始的起源，卻又是謎中之謎。……我們在追蹤零的符號與意義曲折複雜的演變歷程時，亦將看到數學隨之發展與應用的過程──數學不僅為人所創造，亦為人類造福。」數學帶動了工程學的蓬勃發展，科技革命同時改變了人類文明的面貌，０與１的數位記號填充了我們熟知的電腦世界，電腦應用又反過來加速工程學的進步，如果我們說工程學致力於導出與解釋零的訊號，這絕非是誇大其詞，因為函數圖形的最大值與最小值都必須依靠斜率為零的計算，尋找「零」變成是工程學裡決定變數適用範圍的手段。可是零在人們滿心期待的時候，也會露出猙獰的面貌，零有時候是衝突的和解者，它有時也是戰爭的發起人
，當代物理學就非常害怕在方程式裡導出「零」，廣義相對論裡的零（除數為零產生了黑洞）讓愛因斯坦搥胸頓足，因為黑洞破壞了宇宙和諧的結構，量子力學裡的零讓眾多的物理學家吃盡苦頭，因為零把量子塑造成無法控制的搗蛋者（例如量測距離為零、體積為零使得電子的能量變成無限大）。在不同的年代、不同的領域中，零有時極其神聖，零有時被視為惡魔，零有時真的存在，零有時只是虛構之物，然而不管「零」要如何被界說，在關鍵的時刻，零總會變換面貌在人類發展的十字路口與我們相遇，零或者阻礙、零或者導引我們，直到它變成不可形容之物。

　　已經到了該結尾的時候。這篇文章是我第二次導讀《從零開始》，把我在上一篇導讀的未竟之處給補足。連著四個篇幅的文章，我導讀了《零的故事》（Zero：The Biography of a Dangerous Idea）與《從零開始》，這陣子，我真是三生有幸能夠攬讀這兩本──點線面皆具──的好書，讓我在短短時間內智性大開，宛如遍遊人類與「零」之間各個階段與各種層面的糾纏史（該怎麼說，這兩本書實在是太過驚人，我每讀一次都有新的聯想、新的研究方向）。對我而言，如果沒有這兩本書的「點醒」，我還不知道零與無限之間的關聯竟然是如此密切──從古希臘人對於無窮的恐懼
，到古印度人祭拜的濕婆神，到中世紀歐洲對於空無的排拒，到十七世紀科學革命的「微積分基礎」爭論，再到詩人筆下對於零、無限種種的沉思與抒發──一次就把我腦中關於零與無限之間的脈絡給聯繫起來！「零」不只是阿拉伯數字後面的零，如同一九九六年諾貝爾文學獎得主，女詩人辛波絲卡所說的：「我偏愛自由無拘的零／勝過排列在阿拉伯數字後面的零。」如果我們熱情擁抱零 ， 或許還可以體會美國作曲家 Gershwin 所寫的歌詞 ：「我一無所有／但是一無所有卻令我感到富有！」